Chứng minh B = \(\frac{1}{3}\)+\(\frac{2}{3^2}\)+\(\frac{3}{3^3}\)+\(\frac{4}{3^4}\)..........+\(\frac{100}{3^{100}}\)<\(\frac{3}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VM
29 tháng 12 2019
Đặt:
\(4C=3-\frac{203}{3^{100}}.\)
Mà \(3-\frac{203}{3^{100}}< 3\)
\(\Rightarrow4C< 3\)
\(\Rightarrow C< \frac{3}{4}\left(đpcm\right).\)
Vậy \(C< \frac{3}{4}.\)
Chúc bạn học tốt!
7 tháng 1 2020
Đặt :
\(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+........+\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Leftrightarrow3A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+.....+\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Leftrightarrow3A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+....+\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+....+\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+........+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
Đặt : \(H=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{3^{99}}\) \(\Leftrightarrow2A=H-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Leftrightarrow3H=3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+.....+\frac{1}{3^{98}}\)
\(\Leftrightarrow3H-H=\left(4+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{3^{99}}\right)\)
\(\Leftrightarrow2H=3-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Leftrightarrow H=\frac{3-\frac{1}{99}}{2}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{3-\frac{1}{3^{99}}}{2}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}-\frac{100}{2.3^{100}}\)
\(\Leftrightarrow A< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
VM
7 tháng 1 2020
Mà sao bạn tức giận thế nhỉ, mọi khi có thể đâu. Khổ thật. 
Nguyễn Văn Đạt
8 tháng 8 2020
Giúp mình nha. Bài cuối cùng của đề toán dài 36 bài của mình đó
8 tháng 8 2020
\(A=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{100.100}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
Nên từ đây => \(A< 1\) (ĐPCM)
24 tháng 10 2016
Bài 1:
Ta có:
\(\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+...+\frac{19}{9^2.10^2}\)
\(=\frac{3}{1.4}+\frac{5}{4.9}+\frac{7}{9.16}+...+\frac{19}{81.100}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{81}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{99}{100}\)
Mà \(\frac{99}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+...+\frac{19}{9^2.10^2}< 1\left(đpcm\right)\)
9 tháng 10 2016
A = \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3^2}\) + \(\frac{3}{3^3}\) + \(\frac{4}{3^4}\) +....+ \(\frac{100}{3^{100}}\)
3A = 1 + \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{3^2}\) + \(\frac{4}{3^3}\) +...+ \(\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow\) 3A - A = 1+ \(\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)\) + \(\left(\frac{3}{3^2}-\frac{2}{3^2}\right)\) + ... + \(\left(\frac{100}{3^{99}}-\frac{99}{3^{99}}\right)\) - \(\frac{100}{3^{100}}\)
2A =1+ \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}+\frac{1}{3^{100}}\)
Đặt B = \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow\) 3B = \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)
\(\Rightarrow\) 2B = \(1-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow\) \(B=\left(1-\frac{1}{3^{99}}\right):2\)
Thay 2A = 1 + \(\frac{1}{2}\) - \(\left(1-\frac{2}{3^{99}}\right)\) - \(\frac{100}{3^{100}}\) < 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
Vậy A < \(\frac{3}{4}\)
Vậy:...........